命題９
単位から始まる任意個の数が連続して比例していて、単位よりあとの数が平方数であるならば、残りすべてもまた平方数である。そして、単位よりあとの数が立方数であるならば、残りすべてもまた立方数である。
単位から始まる任意個の数A、B、C、D、E、Fが連続して比例しているとし、単位の後の数Aを平方数とする。
残りすべてもまた平方数であることをいう。
さて単位から第3のBが1つを除いた数すべてのように平方数であることは証明された。
残りすべてもまた平方数であることをいう。
A、B、Cが連続して比例していて、Aが平方数であるから、それゆえにCもまた平方数である。再度、B、C、Dが連続して比例していて、Bが平方数であるから、それゆえにDもまた平方数である。同じように残りすべてもまた平方数であることを証明できる。propositionⅧ．２２
次に、Aを立方数とする。
残りすべてもまた立方数であることをいう。
さて単位から第4のCが2つを除いた数すべてのように立方数であることは証明された。propositionⅨ．８
残りすべてもまた立方数であることをいう。
単位はAに対し同じようにAはBに対するから、それゆえにAがBを割り切ると同じ回数で単位がAを割り切る。しかし単位はAをその単位により割り切り、それゆえにAはまたBをそれ自身の単位により割り切り、それゆえにAにAを掛けてBを作る。
そしてAは立方数である。しかし、立方数にそれ自身を掛けてある数を作るならば、その積もまた立方数であり、それゆえにBもまた立方数である。propositionⅨ．３
そして、4つの数A、B、C、Dは連続して比例していて、Aは立方数であるから、それゆえにDもまた立方数である。propositionⅧ．２３
同じ理由でEもまた立方数であり、同じように残りすべてが立方数である。
それゆえに、単位から始まる任意個の数が連続して比例していて、単位よりあとの数が平方数であるならば、残りすべてもまた平方数である。そして、単位よりあとの数が立方数であるならば、残りすべてもまた立方数である。
証明終了